Die Topologie eines Bauteils, d.h. die Lage und Anordnung von Strukturelementen, kann das Strukturverhalten entscheidend beeinflussen. Eine Topologieoptimierung muss deshalb in einem sehr frühen Stadium des Entwurfsprozesses erfolgen. Die heutigen Verfahren geben Design-Vorschläge basierend auf wenigen Vorgaben wie zulässiger Entwurfsraum, Lagerung und Belastung.

Erste Optimierungen: Michell-Strukturen (1904)

Begonnen hat die Topologieoptimierung mit der Betrachtung von Stabwerken. Michell hat hierzu 1904 eine Entwurfstheorie entwickelt, in der sich die Stäbe in einer mechanischen Struktur dadurch auszeichnen, dass sie sich alle unter einem Winkel von 90° schneiden. Sie bilden eine optimale Anordnung im Sinne maximaler Zug- und Druckspannungen.

Pixel-/Voxel-Methode

Ablauf:

1. Definition des Bauraums,
2. Erstellung eines FE-Modells,
3. Definition der Entwurfsvariablen: Für jedes Finite Element soll entschieden werden, ob dort Material ist oder nicht.
4. Formulierung des Optimierungsproblems: Minimiere die mittlere Nachgiebigkeit unter Einhaltung einer Gewichtsrestriktion
5. Optimierungsrechnung (unter Nutzung analytischer Gradienten der Ziel- und Restriktionsfunktionen nach den Entwurfsvariablen)
6. Interpretation (wenn Lösung nicht praktikabel: Zurück zu Punkt 3,
7. Umsetzung in ein Bauteil mit Hilfe eines CAD-Systems.

Die bei der Pixel-/Voxel-Methode verwendeten Ziel- und Restriktionsfunktionen sind eingeschränkt und entsprechen oft nicht den realen Auslegungsfunktionen. Die Ergebnisse liefern also nur einen Design-Vorschlag, der auch in die Irre führen kann. Bereits die einfachen 2D-Beispiele lassen viel Spielraum für Diskussionen.

In den Abbildungen sind optimale Topologien für unterschiedliche Lastangriffpunkte gezeigt. Die einzelnen Lasten in den Abbildungen werden kombiniert. In allen Fällen wird die mittlere Nachgiebigkeit minimiert und eine Gewichtsrestriktion vorgegeben. Diese hat immer den gleichen Wert.

Der Optimierer nutzt das maximal zulässige Gewicht:

Der Stab links unten an der Einspannung entwichelt sich so dünn, weil eine Kraft Zugspannung und die andere Kraft Druckspannung erzeugt. Das hebt sich fast auf:

Durch den nach unten begrenzten Bauraum entwickelt sich eine stützende Struktur am oberen Rand des Bauraums. Ideal wäre ein einfacher Zugstab. Er kann sich aber wegen der Bauraumdefinition nicht mittig zur Kraft ausbilden. Es entstehen Biegeverformungen, die abgestützt werden:

Die beiden orthogonalen Kräfte haben eine Resultierende mit 45° nach rechts unten, sodass sich ein entsprechender 45°-Stab entwichelt. Dieses Ergebnis ist für praktische Bauteile absolut inakzeptabel. Eine kleine Änderung einer der beiden Kräfte würde eine starke Biegespannung ergeben.

Graphen- und Heuristikbasierte Topologieoptimierung

Die Graphen- und Heuristikbasierte Methode verwendet die wirklichen Ziel- und Restriktionfunktionen. Besonders für die Optimierung von Crash-Strukturen ist das wichtig. Basierend auf einem mathematischen Graphen wird in jeder Iteration eine herstellbare Crash-Struktur erstellt. Im Vergleich zur Pixel-/Voxel-Methode kann keine analytische Gradientenberechnung durchgeführt werden, so dass die Rechenzeit erheblich höher ist. Der Vorteil ist aber, dass die Optimierungen sehr nah an den Aufgabenstellungen sind.

Anwendung:

Suche die optimale Topologie und Form des Profils eines Fahrzeugschwellers,
Zielfunktion: Minimiere die maximale Kraft an der schiebenden, starren Wand, so dass Steifigkeits- und Herstellungsrestriktionen eingehalten werden.