Die Idee der Topologischen Ableitung ist es, die Sensitivität des Zielfunktionals bezüglich eines Punktes im Entwurfsraum durch das Einbringen eines Lochs und damit durch direkte Änderung der Topologieklasse zu gewinnen. Die Information, wie sensitiv das Zielfunktional auf das Einbringen eines Lochs an einem Punkt reagiert, kann genutzt werden, um alle Punkte des Entwurfsraums zu bewerten (Bild 1).
Bild 1: Mechanisches Problem auf dem gesamten Körper, b) mechanischer Körper mit Loch, c) Gleichgewichtsbedingungen
Für das Optimierungsproblem basierend auf dem Funktional J(Ω) und den mechanischen Gleichgewichtsbedingungen kann die Topologische Ableitung ermittelt werden. Hierzu wird in den Entwurfsraum am Punkt x eine Fehlstelle in Form einer Hohlkugel, hier als Bρ(x) bezeichnet, mit Radius ρ eingefügt (vergl. Bilder. So lässt sich der Differenzenquotient schreiben als
Für lineare Aufgabenstellungen ist die Methode etabliert, für hochgradig nicht-lineare Aufgabenstellung existieren derzeit keine brauchbaren Lösungen. Hier setzt das am Lehrstuhl bearbeitete DFG-Projekt „Topologische Ableitungen zur Topologieoptimierung crashbelasteter Strukturen“ an. Die Topologischen Ableitungen werden numerisch bestimmt und mit analytischen Funktionen in den Optimierungsprozess von Crashstrukturen integriert. Bild 2 zeigt einen numerischer Ansatz zum Erstellen einer Approximationsfläche für die Topologische Ableitung.
Bild 2: Numerischer Ansatz zum Erstellen einer Approximationsfläche für die Topologische Ableitung
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